Numeri

Non sappiamo con certezza quali popoli utilizzarono per primi dei numeri per contare oggetti ma sappiamo che è passato tanto tempo tra l’uso verbale e la scrittura degli stessi. I primi popoli in definitiva non rappresentavano delle quantità ma dialogavano per scambiarsi informazioni. Un reperto molto importante che aiuta a comprendere come i popoli primitivi rappresentavano i numeri è l’osso di Ishango. Questo osso risale all’epoca del Paleolitico superiore e si tratta di un perone di un babbuino che è formato da tre gruppi di scalfiture in tre colonne differenti. Gli studiosi hanno ipotizzato che queste rappresentino le fasi del ciclo lunare.

Si può pensare che il concetto di numero e di contare sia naturale ma alcune popolazioni non hanno mai sviluppato il concetto di numero e di conteggio. Parliamo ad esempio, di tribù Zulu e Pigmei in Africa, di Aranda e Kamilarai in Australia, ed altre tribù isolate in Oceania od in Amazzonia nei cui linguaggi le parole “uno”, “due” e “molti” rappresentano le uniche grandezze utilizzate.

Contare

In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.

Come può un pastore che non conosce la matematica contare che il suo gregge è tornato intatto all’ovile dal pascolo? Per contare bisogna realizzare una corrispondenza biunivoca, che sta alla base del contare. Potrebbe ad esempio prendere un insieme di sassolini e per ogni pecora che esce dall’ovile mettere da parte un sasso; al rientro del gregge, per ogni pecora che rientra togliere un sasso. In questo modo se la quantità di sassi tolti è pari a zero il pastore ha la garanzia che tutte le sue pecore sono tornate.

Sistemi di numerazione

Nel tempo è stato necessario realizzare dei modi per rappresentare numeri, anche quelli ai quali non era associato direttamente un simbolo, e per poter eseguire con essi le varie operazioni. Nacquero, cioè, i sistemi di numerazione.

Un sistema di numerazione è un insieme di simboli, detti cifre, e di regole per combinarli, per mezzo del quale è possibile rappresentare qualunque numero.

I più antichi sistemi di numerazione furono per lo più sistemi additivi, nei quali a ogni simbolo è associato un valore numerico prefissato

Sistema romano

l sistema di numerazione romano è un sistema di numerazione additivo, cioè a ogni cifra è associato un valore e il numero rappresentato è dato dalla somma dei valori dei simboli. I simboli del sistema assomigliano a delle lettere (potremmo parlare di sistema letterario). Nella tabella sono mostrati i valori che i romani attribuivano alle varie cifre:

Facciamo una sintesi delle regole per la composizione dei numeri

1. I numeri si leggono da sinistra verso destra
2. I simboli I, X, C, M si possono ripetere fino ad un massimo di tre volte consecutive
3. I simboli V, L, D non possono essere inseriti più di una volta consecutiva
4. Se un simbolo è seguito da uno maggiore il valore del primo si sottrae al secondo mentre se un simbolo è seguito da uno minore si sommano
5. Il simbolo che si sottrae non può essere mai minore di un decimo del valore a cui è sottratto

Vediamo alcuni esempi:

Da notare che i romani

• non potevano rappresentare lo zero, poiché non possedevano il concetto di zero come numero. 

• non conoscevano i numeri relativi, quindi non esistono numeri romani che rappresentino quantità negative.

• nella numerazione romana, non esistono numeri nemmeno per rappresentare i decimali e le frazioni.

Problemi

I numeri romani non sono privi di difetti. Ad esempio, non esiste alcun simbolo per zero e non è possibile calcolare le frazioni. Ciò ha ostacolato la capacità di sviluppare un sistema matematico sofisticato universalmente compreso. Alla fine, i numeri romani lasciarono il posto al più versatile sistema di numeri arabi o indù, dove i numeri vengono letti come un numero singolo in sequenza, come 435 come quattrocentotrentacinque. Nella prossima lezione studieremo il sistema numerico posizionale.

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